斜面に対する投射物

このビデオで私がしたいことは， 物理学の 1 年目の生徒にとって は，かなり難しいとされる 問題にとりくむことです。 率直に言って，ほとんどの 物理の 1 年目のクラスでは， このような問題を解くことは 考えられていないでしょう。 上級のコースになれば， これを解くことを期待される かもしれません。 しかしこれは興味ある タイプの問題です。 ここで解こうという問題ですが， それは投射物を斜面に対して 発射するというものです。 たとえば，私たちがある丘の ふもとにいるとしましょう。 緑で丘を描いています。 そして，私たちはこの丘の傾きを 知っているとしましょう。 この丘の傾きは，30 度， 水平方向から 30 度 あるとしましょう。 これが水平方向です。 そして，私たちは投射物を 10 メートル毎秒の速度で 打ち出すとします。 10 メートル毎秒の速度で打ち出す。 そして投射物とこの丘との 傾きを 15 度にしましょう。 丘に対して 15 度です。 そしてこれが伝統的な投射物 の運動の問題よりも もっと難しいのはなぜかと いうことを考えてみましょう。 投射物は発射されて， 最終的にはこの丘の どこかの点に落ちます。 しかし，単純に垂直方向 の成分だけでは， どれだけの間空中にいたのかを 求めることができません。 なぜなら，垂直方向の 変位というのは， 物体がどれだけ遠くまで 飛ぶのかわからない限りは， わからないからです。 なぜなら，この丘を より遠くまで飛ぶと， 垂直方向の変位はより 高いところになります。 すると，ここでは，水平方向成分と 垂直方向成分の両方を同時に 考えなくてはいけません。 この問題を通してみたら， あなたはそれがどんなふうに できるかわかるでしょう。 まず，どんな問題であっても， この手の問題でいつも 最初にすることというのは， 多分，速度を水平方向成分と， 垂直方向成分に， 分解することでしょう。 この速度の垂直 方向成分というのは， この全速度成分の大きさ， 10 メートル毎秒かける，…。 ここでちょっと注意したいのですが， これは sin の 15 度ではないです。 sin の水平方向からの 角度になります。 それはsin 45 度になります。 ですから，かける sin 45 度です。 私は，これを以前のビデオでは もっと詳しく見てみました。 ただ今回は，時間の関係で 省いておきます。 ただしそれは単に，soh cah toa から来ています。 もし垂直方向成分を描けば， こんな感じになるでしょう。 この角度です。 sin 45 度は，角の反対辺 割る斜辺です。 または斜辺かける sin 45 度が 垂直方向の成分に等しくなります。 ちょっと今描いたものを消して， きれいにしておきましょう。 そしてこの速度の水平方向成分は， 同じ論理で，10 かける cos 45 度になります。 では，水平方向の変位が 何になるか考えてみましょう。 今回は前のいくつかのビデオ で既に導いておいた 式をそのまま使うことにします。 変位の水平方向成分ですけれども， それは初速度…。 うーん。そうですね。 垂直方向の変位からにしましょう。 垂直方向の変位です。 水平方向を先にやってもいいですが， まずは垂直方向からやってみます。 それは初速度，10 sin 45 度と もうわかっています。 これはもう解いてしまいましょうか。 sin 45 度は何ですか? それは 2 分の √2 です。 cos 45 度も 2 分の √2 です。 するとこれらの両方の値は， 10 かける 2 分の √2 ですから， 5 かける √2 です。 5 かける √2 メートル毎秒です。 これが垂直方向の速度です。 メートル毎秒。 そして水平方向の速度も 同じく，5 かける√2 メートル毎秒になります。 この 45 度という場合は 少し簡単になります。 しかしとにかく，今は垂直方向の 変位について考えています。 垂直方向の変位は， 初速度，5 √2 かける時刻の変化たす， 次は加速度の項です。 加速度が何かはわかっています。 それは負の 9.8 メートル 毎秒の 2 乗です。 ですからマイナス 9.8 と書きます。 ここではスペースを節約する ために単位を書きません。 かける時刻の変化の 2 乗です。 これ全部を 2 で割ります。 この式はいくつか前の ビデオで導きました。 2 次元の投射物の運動について 解くためにこの式を使いました。 するとこれで y 方向の 変位がわかります。 これはもう少し簡単化できます。 垂直方向の変位というのは， 5 √2 かける，Δt 同じ色で書きましょう。 かけるΔt ひく 4.9 かける 時刻の変化の 2 乗です。 このような制約がある ことがわかりました。 するとこれで，時間の関数として， 垂直方向の変位がわかります。 では水平方向の変位を，時間の 関数として考えましょう。 水平方向の変位は，これは， 水平方向の初速度， それは，5 √2 かける時刻の 変化です。Δ t です。 では，次は何をすればいいでしょうか? この問題には，水平方向の変位と， 垂直方向の変位の間に ある関係がありました。 そしてその関係は， この斜面で与えられています。 どこに物体が落ちるにしても， たとえば，ここに落ちるとします けれども，そうしても 水平方向の変位と， 垂直方向の変位について， ある関係があるのですね。 どんな関係があるか考えましょう。 もし，このここに物体が 落ちるとすると， 同じ色で描きますが， ここが，垂直方向の変位です。 これだけの高さまで動きます。 そして水平方向の 変位ですけれども， 水平方向の変位と いうのはここになります。 この長さです。 これが，水平方向の変位です。 すると，ここでの 垂直方向の変位と， 水平方向の変位の間の 関係というのは何でしょうか? ここの角度が 30 度だと わかっています。 ですからここで 3 角関数を 使うことができます。 ここに直角 3 角形があります。 この角の反対の 辺がわかっていて， 角の隣接辺もわかっている。 反対辺と隣接辺を扱う 3 角関数は，tan です。 ですからここは tan の 30 度です。 それが垂直方向の変位の大きさ， これ割ることの 水平方向の変位の 大きさに等しくなります。 ですから tan 30 度というのは， どうなるかというと，…。 こちらでやってみましょうか。 tan 30 度というのは， sin 30 度割る cos 30 度 に等しいです。 これをもうちょっと見えるようにして…。 sin 30 度は 1/2 です。 そして cos 30 度は √3/2 です。 すると，これは 1/2 かける 2/√3 に等しくて，…。 それは，1/√3 に等しいです。 すると，これが垂直方向 成分の大きさ割る 水平方向成分の．．． おっと，これは水平方向です。 水平方向成分の大きさに等しいです。 するとこれが，√3 分の 1 に等しい。 それで，これで何が嬉しいか?， 何がうれしいかというと，これで 水平方向成分と 垂直方向成分の間の 関係がわかるのが嬉しいです。 この関係がわかったのが 嬉しいです。 そしてここにある制約を使って， これら 2 つのうちの 1 つを解くことができます。 これを明示的に書いてみましょう。 まあ，どうするかお見せします。 そうですね。まずは，両辺の 分母を払ってしまいましょう。 これは，両辺に√3 と水平方向成分の 大きさをかけることと同じです。 すると，左辺は √3 かける 垂直方向成分の 大きさに等しいです。 このどちらの成分の大きさも正です。 まあ，そのまま書きましょう。 かける垂直方向成分 の大きさというのは， これが水平方向成分の 大きさに等しいとなります。 水平方向成分の大きさに等しい。 よし。こんな感じです。 これで，この 2 つのベクトルの 長さの間の関係がわかりました。 そしてこれらを，これまでに求めた 制約に代入することができます。 こちらには 2 番目の 制約があります。 この情報を使いましょう。 この 2 番目の制約は， 水平方向の変位が， 5√2 かける時刻の変化に 等しいと言っています。 これを考えるもう一つの方法は， それはこの両辺を 5 √2 で割ることです。 そうすれば時刻の変化 がわかります。 時刻の変化，Δt は 何に等しいかというと 水平方向の変位割る 5 √2 に等しいというものです。 しかしまた，水平方向の 変位というのが何かというと √3 かける垂直方向の 変位に等しかったのです。 ここで私は明示的に大きさ の記法を書きました。 ノルム(||•||) を書いています。 垂直方向成分や，水平方向 成分だけを扱っている時には， 単純にこんなふうに 書くことができます。 なぜなら，これは正か負の 値を持つからです。 それは大きさと方向の 両方を表します。 では，ここでしたことですが， ここに描いたものでは 明らかに両方の値は 正になることがわかります。 私たちの慣習では垂直方向の上と 水平方向の右が正です。 れは垂直方向の上向き なので正の変位， こちらも水平方向の右方向の 移動なので正です。 ですからこの S_x というのは， 書き直すと √3 かける垂直方向成分に等しい と書き直すことができます。 それ全体を 5 √2 で割ります。 さて，私がこれまでこうして きた理由を説明したいと思います。 この式というのは， この直角 3 角形の 水平方向の変位と垂直方向の 変位の比の情報を含んでいます。 そしてそれはまた 水平方向の変位がどうなっているか， それは時間の関数としてどう 変化するかの情報を含みます。 ですから時間はこれに 等しくなくてはいけません。 これをみてみると時間が 垂直方向の変位の関数に なっています。 時間は水平方向の変位の関数ではなくなりました。 ですから，この制約を使って もともとの時間の関数の垂直方向 の変位の式に代入することで， 垂直方向の変位が何かを 解くことができます。 ちょっとそれをやってみましょう。 ここにあるデルタ t をこの 上の式に代入します。 そうすると，この S_y というのは，…。 これを大きく書きますけれども。 S_y，垂直方向の変位というのは， このここにありますが，これは 5 √2 かけるデルタ t が 最初 （の項） です。 5 √2 かける，… デルタ t はここにあるものです。 ですからデルタ t は，√3 かける 垂直方向成分割る，…。 5 √2 です。 これを 5 √2 で割ったものです。 それはここの式です。 それで，続きは…，いや， こちらの下の式を使いましょう。 こちらの式の方が 簡単になっていますからね。 ですから，これ，マイナス 4.9 かけるデルタ t の 2 乗です。 デルタ t の 2 乗というものは， この値を 2 乗したものです。 これを，まあ，そのまま 書いておきましょう。 あまり多くの手順を スキップしたくありません。 ですから，Δ t は √3 かける S_y 割る 5√2 で，この 2 乗でした。 これは何になるでしょうか? これを見るともう 1 変数の 2 次方程式になっています。 ですから，これを解くことができます。 ちょっと整理して 書き直してみましょう。 垂直方向成分が等しいのは， 5 √2 がここには 分子と分母にありますから， キャンセルできます。 そうすると垂直方向成分というのが √3 S_y…。 うーん，ここでは元々は 大きさを扱った式でしたが， まあそのノルムの記法 は使っていません。 先ほど言ったようにこれは 正なのでOKです。 そして，マイナス 4.9 かけるこの値の 2 乗になります。 すると，これがどうなるかというと， √3 の 2 乗は 3 で，それに垂直 方向成分の 2 乗です。 これ割ることの 5 の 2 乗が 25 で そして√2 の 2 乗は 2 なので， 25 かける 2 で 50 に等しいです。 これをもう少し簡単にしてみましょう。 この S_y を両辺からひきましょう。 垂直方向成分を 両辺からひくと， 0 が等しいのは， これは√3 ひく 1 かける，垂直方向成分です。 なぜなら，この S_y を両辺からひけば， √3 かける垂直方向成分 ひく，1 かける垂直 方向成分だからです。 それから残りの部分があります。 -4.9 かける 3 割る 50 かける垂直方向成分の 2 乗です。 運の良いことに，ここにある 垂直方向成分S_y を 因数分解することができます。 このうちの 1 つのベクトルをとる。 すると，そうですね。あまり手順を 飛ばさないようにしましょう。 0 が等しいのは，√3 ひく 1 ひく 4.9 の…。 色が違いますね…。 これは√3 ひく 1 ひく 4.9 かける 3 割る 50 かけるこの 1 つのベクトル S_y ， そして S_y を因数分解 したのでこう書けます。 これらの 2 つのものの積が 0 に等しいので， これらの項のどちらかが 0 になります。 すると，1つの解は 0 です。 それは正しいです。 この経路の始まりでは 垂直方向変位が 0 でした。 しかし，それは私たちが 探している答えではないです。 こちらの垂直方向成分 を探しています。 これが 0 というのは 明らかな答えですけれども 今は興味がありません。 こちら全体が 0 の ものを探しています。 そしてここにあるものが 0 と いうことを解くのは簡単です。 これは √3 ひく 1 ひく 4.9，…うーむ ちょっと，これ，全部を計算 してしまいましょう。 そうすれば同じことを何度も 書かなくてすみます。 √3 ひく 1 は，0.73205 です。 するとこれを 0.732 と書きます。 それはここの部分です。 そして，…うーん，このビデオは ちょっと長くなりすぎました。 もしあなたが疲れてしまったのなら， ビデオをポーズして休んでください。 4.9 かける 3 割る 50 は 0.294 に等しいです。 すると，-0.294 です。 0 をちゃんと置いて小数点を はっきりさせておきましょう。 かけるこの垂直方向成分です。 これもまた 0 に等しい場合があります。 これかこれのどちらかが 0 です。 こちらが 0 は明らかなので， こちらの方に興味があります。 これを解くためには，両辺に この -0.294 S_y をたします。 すると 0.732 が等しいのは -0.294 かける 垂直方向成分です。 もう少しで終わります。 それから両辺を -0.29… おおっと，これは正の値のはずです。 ビデオを 16 分も越えると， ケアレスミスをするところでした。 両辺を 0.294 で割ります。 こちらも 0.294 で割る。 すると，垂直方向の 変位がこれででます。 ドラムロールが準備 されているようですね。 ここでは 0.732，本当はこれ ですが， ちょっと丸めて， これ割る 0.294 です。 垂直方向変位は，2.4… 。 これを丸めると 2.5 とか，または 2.49 メートルと書きましょう。 2.49 メートルに等しいです。 これは面白いですね。 ここが 2.49 メートル に等しいです。 それから水平方向変位を 求めることができます。 それは簡単ですね。なぜなら， 水平方向の変位というのは， √3 かける， 垂直方向の変位だからです。 それを求めましょう。 これが垂直方向変位なので， これに√3 をかけます。 すると 4.31 メートルでした。 水平方向変位は，4.31 メートルに等しいです。 するとここが 4.31 メートルに等しいです。 これで実は垂直方向成分 と水平方向成分から 総変位も知ることができます。 それはあなたが自身で 確かめて下さい。 もしあなたがこの丘の坂にそって どれだけの距離を進んだか を知りたければ， これらの両方を値と ピタゴラスの定理から この直角 3 角形の， 斜辺が求まります。