投射物の総変位

ではもう一つ，投射した物体が 他の高さに着陸する場合の 例題をやってみましょう。 今回は他にも着地する時の 実際の速度ベクトルが 何かなども求めてみたいと思います。 では，何か物体が地上 から投射されるとします。 そして，ここでは，結構深い 角度で投射されるとしましょう。 そうですね。この角度 ですけれども，これは， 80 度の角度で投射されるとします。 この角度を 80 度の角度に したいと思います。 そして，初速度ですけれども， それは 30 メートル毎秒にします。 これがそのベクトルの長さです。 これがこのベクトルの 大きさを表します。 そして，こちらに着陸 させたいと思います。 ここにある着陸地点は， このプラットフォームの高さ ですけれども，この高さは これを 10 メートルあるとします。 ではまず最初にしたいことですが， プラットフォームの端から着陸点まで どれだけ飛ぶかを求めたいと思います。 そのためにはもう 1 つ 情報が必要です。 この投射点から， プラットフォームの始めまで， ここの長さは必要です。 この長さは 2 メートル あるとしましょう。 では，まずはプラット フォームの端から着地まで どれだけ遠くまで飛ぶかを 知りたいです。 前にやったように，このベクトルを 水平方向成分と垂直方向 成分に分解したいと思います。 このビデオでは前のビデオ よりもちょっと早くやってみましょう。 この手の問題に慣れてきて もらえると嬉しいです。 この速度の垂直方向成分， y 方向成分というのは この全体の速度，30 m/s の大きさかける，… ここは，この高さですが， こちら y 方向は sin ですが， sin 80 度になります。 そして，この速度の水平方向 成分というのは cos です。 水平方向成分，x 方向成分は 30 かける cos 80 度です。 ここでは単位は省いておきましょう。 cos が斜辺分の角の 隣接辺を表しています。 これは前の 2 つのビデオでは もっと詳しくやりましたので， 今回はいくつか ステップを省きましょう。 ではこの物体が空中にあった 時間はどれだけでしょうか? もう一度，前の 2 つのビデオでは， 変位というものを考えてみました。 変位 s です。変位 s。 もし物体が空中にあった 時間を知りたいのならば， 変位が初速度かける時間，…。 これにたすことの加速度…いいや。 これを時刻の変化と書きましょう。 この方が技術的にはより正確です。 これにたす，加速度かける 時刻の変化の 2 乗を ，… これを 2 で割ったものです。 ではこの状況では，初速度が 何かはわかっています。 今はこの垂直方向成分に ついて考えています。 すると初速度はこれになります。 物体がどれだけの時間 空中にあったかは 垂直方向成分が決めます。 なぜなら，どこかの時点で物体は 地面に着地するからです。 そうしたらそれ以上は 移動しないので， それで空中にある時間が わかります。 加速度は知っています。 ここでの慣習は (垂直方向の) 上方向が正，下方向が負でした。 ですからこれは -9.8 m/s^2 です。 そしてまた，これは総変位です。 それは何になるでしょうか? 地上高さから始めて， 垂直方向成分の総変位 ですから，それは 10 m です。 ここにある値は 10 m になります。 単位は m ですが， 単位は書かないで， 10 は，…どうなるかというと， sin 80 度は何でしょうか? 30 かける sin 80 度 これは 29.54 です。 29.54 です。 29.54。 かける時刻の変化。 そしてこれは -9.8 割る 2 ですから， マイナス，これは 同じ緑で書きましょう。 マイナス，おおっとこれは 同じ緑ではないですね。 -4.9 メートル毎秒の 2 乗， かけるデルタ t の 2 乗です。 そして 10 を両辺からひきましょう。 そしてこれを伝統的な 2 次 方程式の形に書き直します。 すると，-4.9 かけるデルタ t の 2 乗 たす 29.54 かけるデルタ t ひく 10，これが 0 に等しいです。 そしてこの根を求めるためには， 2 次方程式の解の 公式を使います。 この 2 次方程式を 満足するデルタ t は， まずはマイナス B ですから， それは -29.54 プラスマイナスルートの 29.54 の 2 乗， これは B の 2 乗です。 マイナス 4 かける A, それは -4.9 で， マイナスかけるマイナスはプラス ですので， +4 かける +4.9。 かける。うーん，このマイナスの符号を 急いでとらない方がよかったですね。 これは -4 かける A，それは -4.9， これかける C，それは -10 です。 A かける C は， -4.9 かける -10 です。 ですから，-4.9 かける -10 と そのまま書いて， この 2 つのマイナスは キャンセルされます。 これら全部を 2A で割ります。 2A は -4.9 かける 2 ですから， -9.8 です。 そして，前のビデオで見たように， このうちの正の値が欲しいです。 マイナスの時間は 意味がありません。 それは投射する前の 過去になりますので， 正の値が欲しいのです。 そして分母には負の値が ありますので， 分子も負の値が欲しいです。 ここにはもう負の値があるので， ここからひき算をすれば， 分子は確実に負の 値になるでしょう。 それを負の値で割れば 正の値になります。 ですから，ここではルートのこの ひき算の部分を考えます。 これは自分で試せます。 もし正のバージョンを試したら， この全体が負の値になるでしょう。 このビデオを見た後で， 自分で試して， その答えに意味がないことを 確認してみてください。 マイナスを使いますね -29.54，ここは ひくです。 ひく，ルートの 29.54 の 2 乗 これに -4 かける，… -4.9 かける -10 です。 これはプラスの 49 になります。 かける 49。 ここではカッコをつけておくべきでした。 カッコを入れます。… よし。 これを評価すれば， これが分子になります。 負の値になりました。 そしてそれを -9.8 で割ります。 -9.8 で割る。 すると 5.67 になりました。 これは 5.67 秒です。 5.67 秒。 ここでは全部の単位を追いかけて， 次元解析が上手くいくことを 確認できます。 やってみればそうだと わかると思います。 すると，物体が空中に ある総時間は ここの，この 5.67 秒です。 では，ここで私がしたいこと， ここでのポイントですけれども， この着地点までどれだけ この物体が飛ぶかです。 このためには，この速度の水平 方向成分がここにあります。 水平方向の変位というのは， 水平方向の変位 S_x というのは， 一定の水平方向成分の速度 これは一定の速度です。 これかける時刻の変化に等しいです。 時刻の変化。 すると，これは 30 かける cos の 80 です。 30 かける cos の 80 度。 これに時刻の変化 5.67 秒をかければ ここでは単位は 書きませんけれども これは m/s かける s (秒) ですから，m になります。 ではこの時間を使って この時間かける 30 かける cos 80 これは 29.53 m になりました。 ですから，水平方向の 総変位は 29.53 m です。 29.53 m。 これはベクトルです。 これは水平方向の変位です。 それは 29.53 m です。 ここではベクトルの分解に ついてたくさん考えてきました。 ただ，このビデオでは私はベクトル の合成もやってみたいと思います。 水平方向の変位はわかりました。 そして垂直方向の 変位もわかっています。 それは正の 10 m です。 では，総変位は何でしょうか? これを書いてみましょう。 水平方向の変位が 29.53 m でした。 垂直方向の変位は +10 m です。 +10 m。 すると，総変位は何になりますか? 総変位。 ここでピタゴラスの定理を 使うことができます。 総変位の大きさの 2 乗は， これら 2 つの辺の平方の 和に等しいです。 これはピタゴラスの定理そのものです。 それをここで書いておきましょう。 ここにある変位の 大きさが総変位です。 総変位の大きさの 2 乗というのは， 10^2 + 29.53^2 に等しいです。 10^2 + 29…これは同じ 色で書いておきましょう 29.53^2 です。 これについて解くには，両辺の 平方根をとればいいですね。 するとまあ，簡単にこうしましょう。 この両辺の平方根をとれば， この総変位の大きさが得られます。 では計算器をとり出して，…。 総変位の大きさは，これは… 平方根の，…。10^2 は 100 です。 それたす 29 …。おっと。 実はこの情報を 全部使うことができます。 この Ans を使えば，これは前の 答えで，29.5299 を使えます。 これの 2 乗です。 これで，総変位の 31.18 です。 31.18 m が得られました。 もちろんこれはベクトルです。 これは大きさだけですので， 方向も必要です。 この方向を示す一つの 方法ですけれども それはこの水平方向との 角度を与えることです。 この角度を θ (シータ) にしましょう。 そして，ここでまた 3 角関数を 使うことができます。 どの 3 角関数を 使ってもいいのですが， ここでは角の反対辺が 10 で， 斜辺の長さが 31.18 だと わかっています。 ですから sin を使いましょう。 sin は斜辺 (の長さ) 分の 反対辺の長さです。 sin θ，これが何に等しいか というと 10/31.18 です。 31.18，これに等しいです。 または，θ について 解きたければそれもできます。 この両辺のアークサイン， sin の逆関数をとると， θ が，アークサイン， サインの逆関数の 10 / 31.18 と書くことができます。 もう一度計算器を出して， この値を求めてみましょう。 sin の逆関数，これは アークサインと同じです。 これは，sin をとったら，この値になる ような角度を下さいという意味です。 すると，sin の逆関数，10 割る…。 これは前の答え (Ans) が使えます。 31.18 が前の答えになっています。 これは，sin が 10/31.18 になる ような角を下さいという意味でした。 すると 18.71 度になります。 これは水平方向から上に 18.71 度上です。 18.71 度です。 ここではベクトルを構成しました。 その垂直方向成分と 水平方向成分をとって， 完全なベクトルを 求めることができました。 この状況でのこの投射物の 総変位がわかったのですね。 もうちょっとはっきりさせておきましょう。 この投射物の経路というのは こんな感じになるでしょう。 そして私たちは総変位を計算して， それが 31.18m だとわかりました。 その方向というのは 18.71 度 水平方向から上でした。 そして，思い出しましたが， この問題を始めた時， 私はこのプラットフォームの端から どれだけの距離に落ちましたかと 聞いたと思います。 このプラットフォームは投射点から 2 m 右から始まりますので， プラットフォームの端から 着地点までは 27.53 m です。