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単位ベクトル表記 (パート 2)

ビデオのトランスクリプト

よくぞ戻られました。 前のビデオの終わりでは, ちょっと混乱したかもしれません。 私が何を話したかというと, もし 2 つのベクトルがあった時,…。 ちょっと 2 つ新しいベクトルを 書いてみましょう。 そうすれば目に見えるように 描くことができます。 最初のベクトルを a とします。 この色ではない他の 色にしてみましょう。 最初のベクトルを a と呼んで, それは何がいいでしょうか。 そうですね。-3 かける 単位ベクトル i たす 2 かける単位 ベクトル j にしましょう。 そしてもう一つベクトル b があります。 これは 2i,2 かける単位ベクトル i たす 4 かける単位 ベクトル j としましょう。 なぜこの単位ベクトル 記法を使うのが いいのかという理由は いろいろあります。 この方法を知らない場合には ベクトルを目に見えるように描いて 頭と尾をあわせて,新しい ベクトルを得ました。 その時は,ベクトルを描かずにたす 方法というのがありませんでした。 しかし単位ベクトルの倍数 としてベクトルを書けば, そういう絵を描く必要がありません。 そしてまた,ベクトルをたす のがとても簡単になります。 単に x 方向成分と,y 方向 成分を別々にたせばいいです。 すると,これら 2 つのベクトル, a たす b, この上に描いた矢印は これらがベクトルである という意味です。 これが等しいのは,…。 これはイコールです。 イコールの記号です。 それは (-3 たす 2) の i 。 そして…ちょっと単調 なので,色を変えます。 (2 たす 4) の j です。 ここでは単純に x 方向成分, または,i の倍数をたしました。 y 方向成分,j の倍数をたしました。 なぜなら,i が x 方向の 単位ベクトルで, j が y 方向の単位 ベクトルだからです。 するとこれが何になるかというと, -1 i です。 単に -i でもかまいませんが, しかし,ここでは 1 を書いておきます。 まだ単位ベクトルの ウォーミングアップが必要でしょう。 すると,たす 6j です。 私がこういう風にした時, あなたは多分, 「そう言われただけでは本当か わからない。」と言うでしょう。 それはそうですね。誰かに 言われたからと そのままあなたが信じる ようでは困ります。 私もその意見は一理あると思います。 では,これがどうしてなのか, 実際に目に見えるように たして確かめましょう。 ではベクトルを描いてみましょう。 私はこうしてもう少し 単位ベクトル一般の感覚が わかってくれるといいなと 思っています。 では軸を描きます。 これが y 軸です。 x 軸も描きましょう。 x 軸です。 単位ベクトルを見るために十分な場所が あるようにしないといけません。 または少なくともこれらのベクトル を描くスペースがいります。 矢印を描いて,軸はずっと 続くことを示します。 よし。こちらは -1, -2, -3 です。 そしてこちらが 1, 2, 3, 4 です。 そして y 軸も,1, 2, 3, 4, 5, 6 と描きます。 これでもう十分たし算が できるでしょう。 この下のスペースはちょっと無駄に するべきではなかったです。 ではまず最初のベクトル を描いてみましょう。 -3i たす 2j です。 -3i というのは,こんな 感じのベクトルです。 -3 かける x 方向のベクトルです。 マイナスですから左に向かいます。 なぜなら i は 1 で,正の 方向を向いているからです。 ですから負をかけば, 逆方向に向きます。 これは違う色で描いてみましょう。 これが -3i です。 それからたす 2j です。 2j はこんな感じでしょう。 これら 2 つのベクトルを 目に見えるようにたすには, ベクトルの頭を尾に置きます。 この下のベクトルを上にシフトして, つまりずらして描いてもいいですし, こちらを左にシフトしてもいいです。 どちらでもいいのでこの下の ものを上にシフトしましょう。 すると,こんなふうに (上に)シフトできます。 思い出して下さい。ここでは, 頭から尾という目に見える形で ベクトルをたす方法を 使っただけです。 ですからこの尾を頭に置きます。 するとどうなるか, ちょっと色を変えますね。 少しややこしくなってきました。 直線のツールを使います。 すると,… よし,これがベクトル a です。 ベクトル a はこんな感じになります。 これは逆の方向でもできます。 x 方向成分を先にして, それから y 方向成分を与えて 頭から尾の方法でたすことができます。 これで,ベクトルを表現 する簡単な方法が, 単位ベクトル記法だとわかるでしょう。 ではベクトル b は どんなふうになるでしょうか? まずは 2i です。 まったく違う色を使いましょう。 これが 2i です。 2 かける単位ベクトル i です。 それがこれです。 たす 4j,1, 2, 3, 4 ですから, こんな感じです。 こちらのベクトルを こちらにシフトして, このベクトルの尾をこの (ベクトルの)頭に置くと こういう感じです。 ですからベクトル b は,…。 これを赤で描きますが, ラインツールを使います。 ベクトル b はこんな感じになります。 成分の尾を頭に置きました。 それがこのベクトル b を 得る方法です。 ではベクトル a と b を 目に見えるようにたすとしたら, これは成分をたしたのと 同じようにできます。 1 つのベクトルの尾を もう 1 つのベクトルの 頭に置いてたします。 すると 2 つの方法がありますが, こちらのベクトルを上に シフトする方法にしましょう。 思い出して下さい。ベクトルは方向と 大きさだけを与えています。 始点を与える必要はありません。 ですからベクトルはシフトできます。 方向や大きさは変えられません。 そしてそれがベクトルをたす方法です。 シフトして,尾を頭に置きます。 これが目に見えるように たすということです。 ベクトル a をこの上に置きましょう。 もしベクトル a を上にシフトすると, こんな感じになるでしょう。 正しく描きたいです。 ベクトル a は多分, こんな感じでしょうか。 思い出して下さい。 私はこのベクトルをとって, シフトしただけです。 そうするとこの頭から ベクトルが始まります。 この尾が,このベクトル b の 頭から始まります。 ベクトル a はシフトしても 同じベクトル a のままです。 ベクトルを動かしても, ベクトルそのものは変化しません。 ベクトルを変えるには, 大きくしたり小さくする, つまりスケールするとか,その方向 を変える必要があります。 目に見えるようには, これをたすということですから, この結果のベクトルは, 頭から尾を通るもので, ちょっと緑で描きましょう。 こんな感じになります。 これがベクトル a たす ベクトル b です。 ここではずっと手順を ふんできました。 そして,2 つのベクトルをたした結果が この緑のベクトルです。 これが a たす b です。 ではこの緑のベクトルが, ここで求めたものと 同じか見てみましょう。 これがここにあるものと 同じかみてみましょう。 マイナス 1 かける i があります。 それはここです。 そして 6j があります。 それは,… ちょっと色を 変えますけれども 6j はこんな感じに見えるでしょう。 そして頭に尾を置いて, こんな感じになります。 するとこれが緑の ベクトルのはずですが, まあ,見てのとおり,完璧には 一致しなかったですね。 それは私が上手く図を 描けなかったからです。 しかし,これらは私がもっと 図を上手く描いていれば, 一致したはずです。 ちょっとごちゃごちゃ してしまいました。 ここで私が示したかったのは 2 つのたし算の方法があって, それらが一致することでした。 1つの方法はベクトルを 目に見えるように描いて, それをシフトして 頭と尾を合わせる方法です。 その場合にはまだ分析的に それを表すことができません。 もう 1 つの方法は,任意のベクトルを その x と y の成分で書く方法です。 そうすると,ベクトルのたし算は 単純にその x 成分の和と, y 成分の和になります。 それは 2 つのベクトル のたし算やひき算の, よりきれいで,より簡単, また間違いをしにくい方法です。 このベクトルがベクトル a たす b と同じだということの 納得できる説明になって いればうれしいです。 もし納得いかなかったら, すみません。 自分で試してみるといいと思います。 そして単位ベクトル 記法が使えるものと 納得できるとうれしいです。 これで私たちは次に進みます。 多分,前の投射物の問題を この記法で解くのもいいでしょう。 それではまた。 これは追加のビデオです。 今回は厳密な図を 作ってみました。 これが単位ベクトル i, そして単位ベクトル j です。 ベクトル a を考えてみましょう。 ベクトル a は -3i + 2j でした。 たし算をするために -3i を上にシフトして, 2j の頭,-3i の尾を通れば ベクトル a はこのようになります。 ベクトル b も同じように, +2i + 4j ですが, 4j を右にシフトして, 2i の頭にくっつければ, ベクトル b がこのようにできます。 そしてこのベクトル a と b を たすには同じように, 尾を頭につけてたし算ができます。 これがベクトル a + ベクトル b です。 ではこれが成分どうしを計算した ベクトル c と同じか どうかをみてみましょう。 ベクトル c は -1i + 6j です。 6j を左にシフトして, 同じように頭から尾の ルールでたし算すると, ベクトル c ができます。 これでベクトル c がベクトル a たす ベクトル b に等しいと いうことがわかりました。