単位ベクトルと工学的記法

私がこのビデオで見せたいことは， ベクトルをその成分で表す方法です。 そして，これを時々ベクトルの エンジニアリング記法 とも言います。 これはとても使いでがあります。 なぜなら，この方法は ベクトルの成分を はっきり意識する ことができるので， 特に成分を考える時には， ベクトルがよりタンジブル にはっきりとするからです。 タンジブルという言葉は聞き なれないかもしれませんが， 手で触るという言葉からきています。 これはまるで手に とることができるように， そこにある感じがするという意味です。 では，ここにある ベクトルを分解してみましょう。 これを速度ベクトルだと仮定します。 ベクトル v，これは 10 メートル毎秒の大きさがあって， 水平方向から上に 30 度の方向を向いています。 ではこのベクトルを以前やった ように分解してみましょう。 垂直方向成分はここです。 その大きさ…，この垂直 方向成分の大きさ， v_y の大きさは， これは 10 sin 30 度です。 これは 10 かける sin 30 度です。 詳しくは前のいくつかの ビデオで説明しました。 基本の 3 角法です。 そして sin 30 度は 1/2 です。 するとこれは 5 メートル 毎秒になります。 10 かける 1/2 が 5 だからです。 するとこれが垂直 方向成分の大きさです。 前のいくつかのビデオで， 垂直方向成分というのは， ある意味，ここで書くよりも少し あいまいに指定していました。 私はここでの記法をよく使います。 それは，私にとってはタンジブルに はっきりとしていて， 好きな方法だからです。 それがこのビデオでもう少しよく 説明できると思います。 このベクトル自身は，5 メートル 毎秒の大きさだと言いました。 しかし，この方向は暗黙的 に与えられていました。 はっきりとは書いていません。 前のビデオでは，これが 正ならば上向きで これが負ならば下向きだと いう意味だと説明していました。 すると，私はこれが ベクトルであり，その符号が この方向を向いていると 説明していたのです。 毎回そういうふうに 説明する必要があります。 それがあまりタンジブルに はっきりとしてないという意味です。 そしてこれは水平方向のベクトル について言う時にも同じことです。 ここにこのように水平 方向のベクトルがあると， そしてこの水平方向 ベクトルの大きさというのは この v_x の大きさというのは 10 cos 30 度になります。 これは 10 cos 30 度です。 これは 3 角法から すぐ出てきます。 cos 30 度は，2 分の√3 です。 ですからこれに 10 をかけると， これは 5 √3 になります 5 √3 メートル毎秒です。 もう一度，前のいくつかのビデオで 時々私はこの記法を使っていました。 そこでは，実際にこのベクトルが 5√3 メートル毎秒のベクトル だと言っていたのです。 しかしこれでは単純に大きさ だけしかないようにみえます。 そのため，そうでないこと， 水平方向の プラスが右向きで， マイナスが左向きの 水平方向の成分だと ずうっと言っていました。 このビデオで私がしたいことは， このような方向を示す説明を 言い続けなくてもいいような 方法を与えることです。 そうするともう少しタンジブル にはっきりするでしょう。 そのためにここで 私たちが導入するものは， 単位ベクトルという考えです。 ここで，私はベクトル i を定義します。 これを時々 i ハットとも呼びます。 それをここに書きたいと思います。 ちょっと矢印をもう少し短くして。 ベクトル i ハットです。 これが，ベクトル i ハット を描いたものです。 i の上に小さなハットを書いて， それが単位ベクトル であることを示します。 上に帽子みたいに書く のでハットと言います。 そして単位ベクトル とは何かと言うと， この i ハットというのは， 正の x 方向を向いている ベクトルだと定義しています。 そして，単位ベクトルの大きさを この i ハットの大きさを 1 であるとも定義します。 そしてその方向は正の x 方向です。 するともし私たちが このような x 方向成分を より良く指定したいと 本当に思ったのなら， 本当はこれを 5√3 かけるこの 単位ベクトルだと書くべきでした。 なぜならここの緑のベクトルは 5√3 かける，このここにある ベクトルになるからです。 このベクトルの大きさが 1 だからです。 すると，これは 5√3 かける この単位ベクトルです。 私がこの記法を好きなところは， これでベクトルの水平方向 成分であるとか， 正が右で負が左だと毎回 言う必要がなくなることです。 なぜなら，もしこれが正の値ならば， 明らかにこれは i の 正の倍数です。 つまり右向きを示しています。 もしこれが負ならば，ベクトルは 反転し，左を向きます。 するとこれはベクトルの x 方向 成分を指定していると 毎回説明するよりも 良い方法になるでしょう。 私がこのベクトル v を分解して， x 方向成分のベクトルを 作ってしまえば， ベクトルをベクトルで 書くのではっきりします。 同じことが y 方向にも言えます。 そのための単位ベクトルを ここでも定義します。 私がまだ使っていない色は，… ピンクを使いましょう。 y 方向に真っ直ぐ行く 単位ベクトルを 単位ベクトル j と定義します。 そして，同じく単位ベクトル j の 大きさは 1 に等しいです。 この小さなハットが示しているのは， または，この記号をキャレットと 言うこともありますが， これがベクトルで，単位ベクトル であるということを示しています。 それは 1 の大きさを持ちます。 ベクトル j は正の y 方向を向き， 大きさが 1 であると定義します。 するとこのベクトルの y 成分を， この 5 メートル毎秒で 上方向を向いているとか， それは垂直方向ベクトルとして， 暗黙的に上向きだとか， またはベクトルの垂直方向成分で， 正のものだとか，そういうことを 毎回言う代わりに もう少しはっきりと書くことができます。 これは 5 かける j ハットだと 言うことができます。 なぜなら，このマジェンタのベクトルは j とまったく同じ方向を 向いているからです。 それは単に 5 倍長いだけです。 図では手で描いたので ちょっとはっきり， きっかりと 5 倍かは わかりませんが， そうだと考えてください。 それは単に 5 倍 長いベクトルです。 さて，これが本当にクールな ところですけれども， これは成分を単に ベクトルの倍数だと 明示的に言うことが できるだけではありません。 成分を明示的なベクトルで 表したというところです。 そしてまた，ベクトル v は その成分の和です。 もしここにある緑の ベクトルから始めて， この垂直方向のベクトルを さらにたすことができます。 すると頭から尾の法則で， この青いベクトルが得られます。 そして実際にこの成分を使って， このベクトルそのものを 表現できます。 ただ，いつもこのように 描く必要はありません。 さて，これでベクトル v が 等しいのは何かというと，…。 こんなふうに書いてみましょう。 これはその x 方向の 成分のベクトルたす y 成分の成分の ベクトルに等しいです。 そして x 方向の成分ベクトルは， 5√3 かける i です。 i ハット。5 √3 i。 そしてこれに y 方向の成分， 垂直方向成分をたします。 それは 5j です。5j。 すると，この記法の本当に 素敵なところというのは， どんな 2 次元のベクトルでも i と j をあるスカラ倍したものの 組み合せで表すことができることです。 そしてもし 3 次元を 扱いたい場合があれば， それはこの後になると，特に物理の クラスではよくあると思いますが， 正の z 方向のベクトルを 導入することでできるようになります。 それはあなたがどのように 定義したいかにもよりますが。 z は普通は上か下になります。 ただ次の次元がどんな ものであっても， 3 番目の次元として単位ベクトル k を定義することができます。 ここで私は，ちょっと物理の 慣習とは違う， コンピュタータグラフィクス ふうに描いてみました。 k をこの方向にしたのです。 ただ，3 次元を扱う物理の 標準の方法では， k は通常は上下方向の次元です。 私はこの記法がとても 素敵だと思います。 なぜなら，これでこれらの 成分を通して， どんな種類のベクトルでも 表現できるからです。 そしてまたこうすることで数学が ずっと簡単になります。