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2 次元のベクトルの可視化

ビデオのトランスクリプト

これまでに私たちが 扱ってきた問題は 全て 1 次元の世界で起きていました。 そこでは前に進むとか, 後ろに戻るとかができます。 前後,あるいは,左右に移動です。 または上下の移動もできます。 このビデオから始める話では, これを 2 次元の世界に 拡張したいと思います。 さらに後では,これを 3 次元や 4 次元, 実は任意の次元に拡張できます。 しかし,古典力学を扱っている時には, 3 次元を越えることはまずないです。 そして,1 次元を越える次元を扱う時, 特に 2 次元の場合, 私たちは 2 次元の ベクトルを扱うことになります。 ここではこのビデオを通して, 少なくとも 2 次元の ベクトルの基礎については 理解したいと思います。 覚えておいて下さい。 ベクトルとは大きさと 方向を持つ何かでした。 するとまずは,2 次元の ベクトルをたす方法について 目に見えるような理解を してみたいと思います。 では,ベクトルが 1 つ ここにあるとしましょう。 これはベクトル a とします。 もう一度,その大きさというのは この矢の長さで与えられます。 そしてその方向はというのは, この矢の方向です。 ですからこれはこの方向を向いています。 では,もう一つベクトルがあるとしましょう。 それをベクトル b と呼びます。 こんな感じです。 このビデオでしたいことは, ベクトル a とベクトル b を たすとどうなるかです。 ベクトルを目に見えるように示す時には, いくつかのことについて 注意することになります。 重要なことは,たとえばベクトル a ですが, 長さを正しく描くこと, 方向も正しく描くことです。 どこにこの矢を描くかは 実はどうでもいいです。 ですから,これもまたベクトル a です。 これは同じ長さと 同じ方向を持っています。 だからこれもベクトル a です。 こちらに描いてもいいです。 描く場所は関係ないのです。 ベクトル b をここに描くこともできます。 それでもこれはベクトル b です。 大きさと方向が重要であって, どこに描くかは関係ないということです。 ベクトル b をここに描いてもいいです。 ベクトルは移動することが できるということです。 すると,この上にも移動できます。 同じ大きさ,つまり同じ長さと, 同じ方向である限り どこに移動しても同じです。 ここで私がこんなことを している理由は, 目に見えるようにベクトルを たす方法で使いたからです。 このベクトル a とベクトル b を たしたい場合, ベクトル a たすベクトル b 。 これはもっと後のビデオで, もっと分析的に どうするか見せたいと思います。 私はベクトル a をこういうふうに 描くことができます。 これがベクトル a です。 それからベクトル b を 描いてもいいです。 しかし,ここで私はベクトル b の尾を ベクトル a の頭に置きたいと思います。 ベクトル b をここに移動して, こんな風に描きます。 これはベクトル b です。 こんな感じです。 そしてベクトル a の尾から ベクトル b の頭まで このようにずうっとたどっていきます。 これをベクトル c と呼びます。 この c が a と b の和です。 これが a たす b の和です。 これで意味が通るはずです。 考えてみましょう。 たとえば,これらが変位ベクトル だったとしましょう。 a はあなたがこれだけ, この方向に変位した b は,あなたがこれだけ,この 方向に変位したと示しています。 b はこの方向にこの長さです。 そしてもしあなたが変位 a を移動して それから変位 b を移動したとしたら, 全部の変位はどうなりますか? そうするとあなたは,これだけ こちらに移動して,それから こちらの方向にこれだけ 距離を移動しました。 すると,移動した全部の距離は, この方向にこの距離です。 ですから,これが, これらの和になる理由です。 さて,2 次元の任意のベクトルを 成分に分解するために 同じ考えを使うことができます。 成分とか分解とかの意味は, すぐ後に説明したいと思います。 もしベクトル a があり,…。 いや,新しい文字を使いましょう。 これをベクトル x としましょう。 これをベクトル x と呼びます。 ベクトル x というのは, ここにあるこの緑のベクトルと このこちらにあるマジェンタのベクトル との和と言うことができます。 注意して下さい。x は緑の ベクトルの尾から始まって, マジェンタのベクトルの 頭までずっと行きます。 そしてマジェンタのベクトルは 緑のベクトルの頭から始まっています。 そしてベクトル x の 尾で終わっています。 どうして私がこれを説明するかというと…。 このここにある説明と 比較してみると, 緑のベクトルたす マジェンタのベクトルが このベクトル x になると 言えるはずです。 私は緑のベクトルの頭を このここにあるマジェンタの ベクトルの尾に置きました。 私がこうした理由というのは, もし x をこれら 2 つのベクトルの 和で表すことができるのならば, x をその垂直方向成分と, 水平方向成分に 分解できるからです。 すると,私はこれを 垂直方向成分, x の垂直方向成分と言って, そしてこちらのこれを x の水平方向成分と 呼ぶことができます。 また,この x の垂直方向成分を こちらにずらしても書けます。 ベクトルは,同じ大きさと 方向を持つ限り, どこに描いても良いのでした。 これが x の垂直方向成分です。 ここであなたが見ているのは, このベクトル x を表現 する他の方法です。 同じ色で(書きましょう)。 このベクトル x を 垂直方向成分と水平方向成分 の和として表現できます。 ですから水平方向成分たす 垂直方向成分てです。 これはこれから何度も何度も出てくる, とても強力な考えです。 なぜなら,こうすると 2 次元の問題を, 2 つの独立した 1 次元の問題へと 変えることができるからです。 水平方向と垂直方向のものです。 では,もう少し数学的 にやってみましょう。 ここまではベクトルの長さ などの話をしてきました。 しかし実際に分解して, ベクトルを成分に分解するという 意味が何かをお見せしましょう。 では,こんな感じのベクトルがあるとしましょう。 私のベストをつくして 描いてみます。 こんな感じのベクトルが あるとしましょう。 その長は 5 にしましょう。 私はこれをベクトル a と呼びます。 するとベクトル a の長さは 5 に等しい というのをこのように書きます。 ベクトルの大きさはわかりました。 次は方向です。 このベクトルの方向を 正の x 軸の指す方向との間の角度で 与えることにします。 ですから軸をここに描いてみましょう。 こちらが正の y 軸方向で, 垂直方向です。 こちらが正の x 方向で, 水平方向を示します・ このベクトルの方向は, ここの角度で与えることにします。 ここで私はとても変な 角度を与えますよ。 これはある理由で選びました。 後でどうしてこんな数に したかわかるでしょう。 これを度,デグリー (degree) で与えます。 36.8699 度です。 この数には理由があります。 さてここで何をしたいかですが, 私はこのベクトルの水平方向成分と 垂直方向成分を求めたいと思います。 するとこれを何かまっすぐ上下か, 何かまっすぐに右左のものへと 分解したいと思います。 ではどうしたらいいでしょうか? そうですね。どんな感じになるか, まずは目に見えるように 単純に描いてみましょう。 垂直方向成分は…。 この垂直方向成分は こんな感じでしょう。 そして,その水平方向成分は こんな感じでしょう。 この場,水平方向成分は ベクトル a が始まる ところから始まります。 そしてベクトル a の先まで x 方向に進みます。 でも x 方向だけに進んでいます。 それから,ベクトル a の 頭まで行く必要があります。 そのためにはこの垂直 方向成分が必要です。 そしてこれを, a_y, a 下付き y と書いて垂直 方向成分と呼びます。 こちらは a_x,a 下付き x と書いて, 水平方向成分と呼ぶことができます。 ここでは,a_y と a_x の大きさを 求めたいと思います。 どうしたらいいでしょうか? ここで描いた方法ですが, ここには直角三角形があります。 この直角三角形の斜辺の 長さがわかっています。 この辺の長さが,斜辺の長さです。 これはベクトル a の大きさになります。 ベクトル a の大きさは 5 に 等しいと私が決めています。 では,これらの辺の長さは どうしたらわかりますか? ここでちょっと三角法がでてきます。 もし角度と斜辺が わかっているのならば, この角度の反対側の辺の長さは どうしたらわかるでしょうか? ここです。 この角の反対にある この辺の長さです。 ちょっと三角法をおさらい してみましょう。 Soh cah toa です。 サインは斜辺に対して反対, コサインは斜辺に対して隣, タンジェントは隣に対して反対です。 sin, cos, tan の他の覚え方ですが, 直角 3 角形がこのようにあるとします。 sin は斜辺分の反対の辺です。 このように sin の s を書いて, s をなぞっていくと, 斜辺分の高さが sin です。 そして cos はここです。 cos と書いて c をなぞります。 すると,斜辺分の底辺です。 tan はここですから, tan を書いて t をなぞります。 するとそれは底辺分の高さです。 こんな覚え方もあります。 すると,ここに角があり, その反対の辺があります。 すると,これはこの角のサインです。 サインの 36.899 度というのは, これは斜辺の長さ分の反対の 辺の長さに等しくなります。 角の反対の辺は, a の y 成分の大きさでした。 これは y 成分の 大きさに等しいので, 分子がこれです。 そして,分母は斜辺の 大きさ,この長さです。 それは 5 に等しいと知っています。 この両辺に 5 をかければ, 5 かける サインの 36.899 度, これがベクトル a の 垂直方向成分の大きさに 等しくなりました。 さて,ここで計算器を出す前に, 水平方向成分についても 同じことをして 求めておきましょう。 ここが,(角の) 隣の辺です。 こちらが角の隣の辺です。 そして斜辺もわかっています。 コサインが隣の辺と 斜辺を扱うものでした。 するとコサインの 36.899 度は, 何に等しいかというと,…。 コサインは斜辺分の隣の辺です。 すると分子がベクトル a の x 方向成分の大きさで, 分母が斜辺の大きさに 等しくなります。 斜辺の長さは 5 でした。 もう一度,両辺に 5 をかけると, 5 かけるコサインの 36.899 度というのは ベクトル a の x 方向成分の 大きさに等しくなります。 ではこれらが何かを見てみましょう。 計算器を出します。 私の信頼する TI-85 を出します。 これが度法のデグリー(degree) モードになってるか確認します。 はい,ここにデグリー モードと出ています。 弧度法のラジアンモードでは ないことを確認しました。 ここを抜けて,…。 垂直方向成分というのは 5 かける サインの 36.899 度です。 それは,丸めると約 3 です。 ベクトル a の垂直方向 成分の大きさというのは, これは 3 に等しいといえます。 そして同じことを 水平方向成分にもします。 それは5 かける コサインの 36.899 度です。 これも 100 分の 1 の位で 丸めると,4 になります。 すると水平方向成分は 4 です。 これは 4 に等しいです。 これは古典的な 3-4-5 の ピタゴラスの 3 角形です。 この3角形にしたいので 変な角度にしたのです。 水平方向成分の 大きさは 4 に等しくて, 垂直方向成分の大きさは,…。 これは 3 に等しいです。 さて,あなたはまた, どうしてこんな面倒な ことをしてきたのですか? こうする理由は何ですか? と聞くでしょう。 それは次のビデオで 見ますけれども, 何かがこの方向の速度,5 メートル毎秒, こうするとそれを 2 つの速度成分 に分解することができるのです。 これを上方向に 3 m/s と 言うことができて, こちらを水平方向右に4 m/s と言うことができます。 こうするとこの問題を 大きな 2 次元の問題の代わりに, 2 つのより簡単な問題, 2 つの 1 次元の問題に 分解できるのです。 つまり問題を簡単するために, こんなことをしてきたのです。