どうして負の数かける負の数に意味があるのか

あなたは，古代の数学の哲学者で 正の数と負の数のかけ算がこれまで作ってきた 数学と全て一貫することを結論しました． かけ算のこれまであなたが知っている全ての他の性質から 負の数かける正の数，または正の数かける負の数は 負の数になる必要があります． そして，負の数かける負の数により 正の数が得られる必要があります．そしてあなたは これがこれまでと一貫することを受け入れました．しかし一貫するというだけでは まだあなたは完全に納得できたわけではありません．分配法則やその他のどんな思考実験で 一貫性が得られるというだけではなく，あなたはもう少し深い直感的にわかったという感じが欲しいと思っています． 「単にかけ算をするということはどういうことだったのか?」と他の思考実験をすることにしました． たとえば，2かける 3 です．これを概念化する一つの方法ですが， かけ算とは基本的にたし算の繰り返しです． ですからこれを2つの3と見ることができるはずです． それを3たす3と書きましょう． 注意して下さい．ここには2つあります．これらが2つあります． または，これを3つの2と見ることもできます．これは 2たす2たす2と同じこととも考えられます．そしてこれらは 3つあります．どちらの方法でこれらを考えてもしても まったく同じ答えが得られます． これは6に等しいです．確かに! あなたは負の数を試す前にこれを知っていました． ではこれらの一つが負の数になったらどうなるか見てみましょう． 2かける マイナス3 マイナスを違った色で書きます． 2かけるマイナス3． では，これを考える一つの方法は，これとの類似性を使うことです． それはマイナス3が2回でしょう， 意味の通るように色を使います． マイナス3とそしてもう1つのマイナス3， または，マイナス3ひく3 または，-- これは面白いことに， ここの所とは違って，ここの2かけるプラスの3では 2を3回たしました． しかし，ここでは2かけるマイナス3です． これを 2 を3回ひくというふうに想像することができます． この上のものとは違って，-- 私が2たす2たす2とここで書いたのは，これはプラスの2が ここにあるからです．しかし，ここではマイナスが3つあります． これは2を3回ひいたものと考えることができます．するとこれは 2 をひいていることになります． もう1つ2をここでひいて，さらにもう1つ2をひき， そしてまた2をひきます． もう一度注意して下さい．ここには3つあります． これはマイナスの3です．これはマイナスの3です．これは基本的に2を3回 ひいているのです．どちらの方法で考えても， マイナスの6を得ることになります． マイナス6が答えです． では，ここにある部分については少し気が楽になりはじめたでしょう． マイナスかけるプラス，あるいはプラスかけるマイナスは， マイナスの数になります．では，本当に直感に反するものを考えてみましょう． それはマイナスかけるマイナスがどうなるかです．そして突然マイナスがある意味キャンセルされ， プラスの数が答えになります．では，なぜそうなるのでしょうか?これはこの，ここにある例題から 作りだすことができます．たとえば， マイナス2があり，そうですねたとえば， マイナス2があって --- 違う色を使ってみましょう． たとえば，マイナス2があり，-- この色はもう使いましたね． マイナス2 かける マイナス3． ではこれで…--実はこっちのものを最初にやってみましょう． 何かをマイナスの3でかけるのを先にしましょう． 私達はこれを，これが何であろうと，3回繰り返しひきます． そしてこれはプラスの2ではありません．このここにあるのは プラスの2ですが，ここでひこうとしているものはマイナス2です． もっとはっきりさせましょう．これは私達が何かを3回ひくということを言っています． ですから何かを3回ひきます． なにかを3回ひきます． これがここにあることが言っていることです． そしてこれを，ここできっかり3回します． ここにあるのはプラスの2を3回ひくことでした． 今度はマイナスの2をひきます．マイナスの2でこれをします． マイナスの数のひき算はもう知っています． 既に私達はマイナスの数を引くというのは， 正の数，プラスの数をたすことと同じという直感を組み上げてきました． つまりここにあるものは2たす2たす2と同じことになります． またここでも，プラスの6になりました． 同じ論理をここでも使うことができます． マイナス3を2回たすかわりに．．実はここではこれは この例ではマイナス3を マイナス3 マイナス3，ここではそれをたしました． ここにプラスを書いてもっとはっきりさせましょう． ここでは，これを2回たしました．私達はマイナス3を2回たしました． しかしここではマイナス2ですから，マイナス3を2回ひきます． ですからここでは何かをひきます． 何かをまたひくことになります．そしてその何かは マイナスの3です．それはマイナスの3になります． マイナスとマイナス．ここに3を書きます． また同じことですが，マイナス3をひくというのは，誰かの借金を取り去るようなものです． 誰かの借金をなくすにはその人にお金をあげるのと同じです． これは3と3をたすのと同じで，これはまた6になります． これであなた，古代の哲学者，はとてもいい気分です． このこれまでに知っている数学全部一貫する， 分配法則や何かかける何かの性質など， 全てのこれまでに知っていることが一貫するだけではありません． これは実は意味が通ることです．これは実はこれまでの表記， もともとのかけ算の表記，あるいは正の数のかけ算の表記， つまりたし算を繰り返すこと，とまったく同じ考えだったのです．