面積モデルでの割り算

ここには長方形があります． ここには，緑の長方形があります． この面積が 268 平方単位あるとしましょう． この単位は何でもいいです． これは平方センチメートルでもいいですし， または，これは大きな野原で， 宇宙から見ているかもしれません． すると，平方キロメートルとか何かかもしれません． ですから，ここには平方単位とだけ書いておきます． そして，この野原の片側の 長さを知っているとしましょう． ここですが， ちょっと色を選びます． ここにある野原のこの側の 長さを知っているとしましょう． 野原のこちらがわは， 2 単位の長さがあるとしましょう． 2 単位． ここでは縮尺はぜんぜん合っていませんね． もし正しい縮尺で描こうとしたら， こんな小さな感じになって． まあ，そうすると長方形が見えないのでこうします． 単純にこちらが 2 単位の長さと考えて， もしこの全体の面積が 268 平方単位あるとしたら， もう片側は，どれだけになるでしょうか? こちらの，もう片側は．．． ちょっと，他の色で (描きます．） この側は，どれだけの長さになるか． この長方形のこちら側は， どれだけの長さになるでしょうか? もし，この長方形の 2 つの辺の長さをかければ， 面積がわかるはずです． ですから，この面積が， 268 であるとしたら， この高さで割ると， これを高さで割る．．． すると，こちら側の長さがわかるはずです． では，もし，こちら側の長さを求めたいと思ったら， 268 割る 2 を計算すればよいです． これはもうこれまでに見たかもしれません． 268 割る 2 が何かはもう求められるでしょう． では，それならこの長方形を どうして描いたのかという理由ですが， それは面積を使って， 割り算を目に見えるようにしたいからです． これを計算する方法の 1 つは， この 268 平方単位を 2 で割ることを， 考えやすい面積に分解して考えることです． するとここには同じ野原がありますが， これを分けて考えたいと思います． こちらは同じ野原です． こちらの長さは同じく 2 単位です． 2 単位． でも，こちらは分解しました． 青い部分の面積は 200 単位．．． これはちょっと違う色にしましょう． すると，この青い部分は 200 平方単位あります． そして黄色の面積は 60 平方単位です． そしてこのマジェンタ色の部分は 8 平方単位です． さて，これが何の役に立つのでしょう? そうですね．何か教わったときに， どうしてそんなことをするのかわからない時は 質問しましょう． 普通は理由があります． こうするのは問題が簡単になるからです． ここでしたことは，この 268 を 200 たす 60， たす 8 に分解したのです． 268 を 2 で割るのが簡単なものに 分解したのです． そして，これらのそれぞれを，こう，2 で割ります． これらのそれぞれをとって 2 で割ることができます． すると，これは何になりますか? この長さ，こちらにある部分の．．． ちょっと待って下さい．違う色で描きましょう． ここにある長さは何になるでしょうか? そうですね 2 かけるこれが 200 ですから， ここは 100 になるはずです． どうしてこうわかったのでしょうか? これは 200 割る 2 で求めました． 200 割る 2 は 100 に等しいです． 60 割る 2 は何でしょうか? 60 割る 2 は 30 になります． 野原のこの部分は， この方向に 30 の長さがあり， こちらが 2 の長さです． もう一度，これは縮尺どおりでは ないことに注意してください． 最後に，この部分はどれだけの長さになるかというと．．． これは，8 割る 2 ですから， 4 に等しいです． 注意して下さい，100 かける 2 は 200 30 かける 2 は 60 で， 4 かける 2 は 8 になります． そして，この上にある長さ全体は 100 たす 30 たす 4 ですから， 134 になるでしょう． さて，これを求める他の方法をもう見てきました． あなたは，「2 個の 100 割る 2 は 1 個の 100， 6 個の 10 割る 2 は，3 個の 10， 8 個の 1 割る 2 は 4 個の 1．」 と言うこともできます． そして，実はここでしたこともそうでした． しかし，ここではこの長方形を使って， 目に見えるようにしたところがちょっと違います． これを，2 で割りやすいかたまりに 分解したのです． これを 2 個の 100， 2 個の 100 はここにあります． そして，この 6 個の 10 もわけます． ここにある 6 個の10，60 に分解しました． そして，最後 8 個の 1 の部分にも分けました． 8 個の 1 の部分にも分けた． 面積を分解して， そして，それからこれらの面積のそれぞれを考えて， 2 で割って，長さを求めました． 全部をたせば，全部の長さになります． さて，これはいくつもある方法の 1 つで， これらの位の値のそれぞれをとって， この野原を，またはこの長方形を分解しました． 他の方法でもできたでしょう． でも，このようにいつも分解する必要はないです． たとえば，ほかのものとしては， こんな面積を考えます． この面積を 856 平方単位としましょう． 平方単位．．． さて，ここの長さは， 8 にしましょうか． 8 単位長さとします． これは 8 単位の長さです． では，これはどのように分解できますか? もう片方の辺の長さ， こちらがわの長さが何になるかを 簡単にわかるようにしたいです． これは，856 割る 8 になるはずです． 856 割る 8 が， ここにある長さになります． そうすると，これを 8 個の 100，5 個の 10， そして 6 個の 1 に分解することもできますけれども， 5 個の 10 は，8 で割るのは難しいなと， 気がついたかもしれません． でも， 56 割る 8 はできますね． 56 割る 8 は 7 です． ですからこの 856 平方単位の長方形を， 800 平方単位のものと， そして，56 平方単位のものに 分解することができるでしょう． もう一度，これを 8 個の 100 と そして，56 個の．．． おっと．．． 56 個の 1 にわけました． 8 個の 100 と 56 の 1 です． 同じ面積です．ただ分けただけです． こっち (の長さ) が 8 ですね． 「これが 8 ならば， こちらの長さは何だろう?」と考えます． こちらの長さですね． この部分は，800 割る 8 になるでしょう． 800 割る 8 になります． この下に書いてみましょう． 800 割る 8 が， ここにある長さで， それは 100 になるでしょう． どうしてそうわかったかというと， 8 個の 100 があって，それを 8 で割れば， 1 個の 100 です． 800 割る 8 は 100 です． そして，あとは，この 56 の部分です． 56 割る 8 は 7 です． ですから，ここにあるこの長さは， 7 になるでしょう． すると，この全体の長さは， この全体の長さは，100 たす 7 で， 107 に等しいです． さてもう一度， 「ちょっと見て，8 は 800 に 100 回ある． 8 は 56 に 7 回あるから，107 です．」 と，言ってもいいのですが， 「でも，なんでこんな長方形を描いたのかな?」 と考えてほしいです． ある場合には，こういうふうに， 目で見えるように可視化すると わかりやすくなるからです． これは面積の問題で， この856 が全体の面積で， 8 が片側の長さなら， 856 割る 8 は， こちらの長さになるはずだ．と言うことができます． 1 つの解き方は，これを位の値で分けることです． この数を 8 で割りやすい 簡単な問題に分けていきます． それを，この面積を分けていくことと 同じと考えることができます． そして，この長さの部分部分を求めると， ここには 1 つの 100 があって， こちらは 7 になります． とにかく，割り算をしている時に， あなたのイメージしていく力，可視化の能力が， こういうふうに広がってくれるといいなと 私は思います．