共通の分母: 1/4 と 5/6

ここには 4 分の 1 と 6 分の 5 の 2 つの分数があります。 そして，これらを同じ分母で， 整数の分子の分数に 書き直したいと思います。 このとき，分母として使える数はどれでしょうか? 4 分の 1 と 6 分の 5 があって， これらを同じ分母を持つ 新しい分数に書き直したいのです。 今は 4 と 6 が分母です。 ここで適当な数，たとえば 5， を選ぶことはできますか? つまり，「両方の分母を 5 にしよう」 と言うことはできますか? 答えは「できない」ですね。 4 と 6 の倍数を選ばないといけません。 ある数，4 と 6 の倍数が， この答えのどれかでしょう。 たとえば，4 についてですが， 4 を考えてみます。 4 の倍数は，4 かける 1 で 4， 4 かける 2 で 8， 4 かける 3 で 12 と続きます。 これらは全部 4 の倍数です。 ちょっとここで，そもそもどうして 4 と 6 の倍数に しないといけないのか考えてみましょう。 どうして，何か適当な数を選んではいけないのか。 そうではなくて，分母の倍数でなくてはいけないのか。 ここで話をしていた分数は2つありますが， まあ，どちらでもいいですが， 4 分の 1 を見てみましょう。 これが，4 分の 1を示す絵です。 4 分の 1 を見せるために， 4 つの等しい大きさのピースの 一つに色を塗ります。 そして，ここで，そうですね… 「分子を 2 にしたい」といいましょう。 すると分子が 2 の分数を考えたいと思います。 ですからこの 4 分の 1 を このように 2 つのピースに分けます。 すると 2 個の色のついた部分になります。 これは1, 2 で 2 個ですが， これは 1, 2, 3, 4, 5 個のうちの 2 個だと言えますか? いえないですね。 なぜなら，これらは等しい大きさのピース という分数の決まりを守っていないからです。 ここの 1 つを 2 個に分けたら， ほかも全部 2 個に分けないといけません。 これは，等しい数のピースを 2 倍にしていることと同じです。 こうやって 2 つに分け，ここも 2 つ， ここも2 個に分けます。 すると全部等しい大きさのピースになりました。 色のついたものは，この 2 個です。 それは 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 個の 等しい大きさのピースのうちの 2 個です。 ですから 8 分の 2 です。 わかりましたか? 8 は 4 の倍数，2倍（の数）です。 それぞれのピースを全部 2 倍にしたからです。 この場合に，分子も 2 倍になりました。 なぜなら，これもまた 2 倍になったからです。 全体のピースを 2 倍にしていけば， 色のついた部分も 2 倍になります。 さて，これは特に 2 倍というふうに 限ったことはありません。 4 の倍数なら何でもできます。 もう 1 つやってみましょう。 もう 1 つまた4 分の 1 を塗っておきましょう。 4 つの等しい大きさのピースのうちの 1 つです。 そして，今回は，これを， 3 個の等しい （大きさの） ピースに分けましょう。 こうすると新しい分子は 3 になります。 これらは皆，等しい大きさでないといけません。 分子が 3 です。 しかし，この分母はまだです。 全部同じ大きさのピースにしないといけないので， そのためには，これらの 4 分の 1 のそれぞれを 3 つづつに分けないといけません。 すると，全部のピースの数が 3 倍になります。 すると，3個の色の塗られた部分があって，全体は， 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ですから， 12 個のうちの 3 個です。 実はこれはいちいち数えなくてもわかります。 なぜなら，3 倍したことがわかっているからです。 今回は，元の分母に 3 をかけました。 3 倍しました。 そして，分子もやはり 3 倍しました。 さて，これらは (4の) 倍数，8, 12, などです。 これらが選ぶことができる分母です。 （元の）分母の倍数に なっている数です。この4です。 全体のピースの数の何倍かができます。 そしてまた，これは図でとても はっきりしていると思いますが。 4 分の 1，8 分の 2，12 分の 3 は 全部同じ量です。 元の 4 分の 1 と，ここは 8 分の 2， 12 分の 3，全部等値です。 これらは皆同じ量を表します。 これらは，同じ数を 違う方法で書いたにすぎません。 元の質問に戻りましょう。 4 分の 1 と 6 分の 5 については， どの分母を使うことができますか? もう，倍数を使わなくては いけないことはわかっています。 では，倍数を見てみましょう。 4 については，もう見てきました。 4 の最初の倍数は， 4 かける 1 で，4 です。 2 番目の倍数は 8 です。 4 かける 2 は 8 です。 4 分の 1 のそれぞれを 半分にして，8 分の 1 づつにします。 また，4 かける 3 は 12 ですね。 それはまた，4 分の 1 のそれぞれを， 3 個の等しい部分に分けたことになります。 4 かける 4 の 16 でもできます。 4 かける 5 は 20 です。 4 かける 6 は 24 です。 こう続いていきます。 私がこの 24 で止めたのは， この答えを見て，一番大きい 数が 24 だったからです。 これより大きい数でもいいのですが， この問題ではこれで十分です。 4 の倍数はいくらでも続いていきます。 でも，全部を書きだす必要はありません。 この問題に限れば， 24 まででいいです。 同じことを 6 についても考えてみましょう。 6 そのままでもいいです。6 かける 1 は 6。 これは 6 個のピースのままです。 または，6 分の 1 を 2 倍にして， 6 かける 2 は 12 です。 ピースを 2 倍にすれば，12 ピースです。 6 かける 3 は 18 です。 6 かける 4，それは，6 分の 1 のそれぞれを， 4 個のピースに分けることです。 6 かける 4 は 24 で， 24 分の 1 が単位になります。 これもこう続きますが， ここでも 24 で止めておきます。 それは 24 が，この問題で考えなくては いけない最大の数だからです。 では選択肢を見てみましょう。 分母に使える数は? 8 は使えますか? 上のリストを見てみましょう。 8 は 4 の倍数です。 ですから，4 分の 1 のそれぞれを， 8 分の 1 づつに分けることができます。 しかし，8 は 6 の倍数ではありません。 ですから，6 分の 1 は 8 分の 1 になるように分けること はできません。 なるように分けることはできません。 すると 8 は 両方の分数の分母としては使えない。 12 はどうですか? 12 は 4 の倍数です。それはもう見ました。 もう絵に描きました。 そして，12 は 6 の倍数でもあります。 6 分の 1 のそれぞれを 2 個づつに分けます。 すると，12 分の 1 ができます。 12 は上手くいきます。 12 は 4 分の 1 と 6 分の 1 の 共通の分母に使えます。 18 は 6 分の 1 に使えます。 6 分の 1 を 18 分の 1 づつに 分けることができます。 18 は 6 の倍数です。 でも，それは 4 の倍数ではありません。 すると，18 は外せます。 18 は共通の分母にはなれません。 24，これはこの問題の最後の数でした。 両方にあります。 ですから，24 は 4 分の 1 と 6 分の 5 の 共通の分母になることができます。 12 も 24 も両方とも使うことができます。 もっと他の数も， 共通の分母に使えます。 しかし，この問題の選択肢からは， 4 分の 1 と 6 分の 5 の共通の分母には， 12 または 24 が使えます。 そして，多くの人達が， 一番小さな数，最小公倍数， を使うのが好きです。 この場合は 12 です。 そして，それは理にかなっています。 なぜなら，小さい数の方が 計算が簡単だからです。 でも，絶対に一番小さな数でないと いけないというわけではありません。 12 分の 1 でも 24 分の 1 でも 他の公倍数でもできます。 しかし，12 分の 1 にするのが， 一番簡単なはずです。 なぜなら，普通は小さい数の方が， 計算が楽だからです。 この問題では，4 分の 1 と 6 分の 5 の共通の分母には， 12 と 24 が使えます。