投射物の最適な角度パート 1: 初速度の要素

ある角度で何か物体を空中 に打ち出すとしましょう。 その速さは s で，それを 打ち出す角度ですが， その角度を水平方向よりも上に シータの角度だとしましょう。 このビデオで私がしたいことは， この物体がどれだけ 遠くまで飛ぶかを 角度と速さの関数として 理解することです。 しかしここでは，速さは何か定数と して与えられているものとします。 すると，これが地面だとします。 私たちはここで，この物体が どれだけ遠くまで飛ぶかを 求めたいのです。 想像できると思いますが， これはこのような 放物線を描いて移動し， どこかの時点で地面につきます。 そしてここが距離 0 だとして， ここまでの距離を 距離 d としましょう。 さて，あなたがこういう何かをある 角度で打ちだすという問題を解く時， その時には最初にこの ベクトルを分解するのは 良い戦略でしょう。 思い出して下さい。 ベクトルとは何かの大きさと 方向を持ったものです。 ここでは大きさは s で，キロメートル 時とかメートル毎秒などです。 そして方向はシータです。 この s とシータがあれば， ベクトルが与えられます。 そして，このベクトルを まずその垂直方向成分と， 水平方向成分に 分解したいと思います。 それからそれらを 別々に扱います。 まずは物体が空中にどれだけ あるかということを求めて， それからどれだけ遠くまで飛ぶ かを求めたいと思います。 では，ここにあるベクトルを ちょっと大きく描いてみます。 もう一度，このベクトルの 大きさは s です。 この矢印の長さが s と 考えることもできます。 そしてここのこの角度がシータです。 この角度がシータ (θ)。 そしてこれをその水平方向成分と 垂直方向成分に分解するためには， ここに直角 3 角形を描いて， 3 角関数の比を使います。 ここが地面です。 この矢印の先から垂直な線 を地面に下ろすことができて， そうすると直角 3 角形ができます。 この長さ，…。 この速度の垂直方向成分の長さは このここにある長さになります。 これがどうなるかと言うと，…。 この長さが垂直方向の 速さになります。 垂直方向の速さなので S_v と書いておきましょう。 vertical (垂直) 方向の S です。 それから，ここにあるもの， 直角 3 角形のここの長さです。 これは違った色で 描きましょうか。 3 角形のこの辺の長さは 水平方向成分の速さになります。 または，この速度の 水平方向成分です。 私がここで「速度」という 言葉を使っている時には， 「速さ」と「方向」の両方を 指定したベクトルを言っています。 速さは単にこの速度の 大きさだけです。 この辺の大きさは， 水平方向の速さになります。 そしてこれを求めるためには， 3 角関数の比を使います。 ここに直角 3 角形があります。 こちらがは斜辺です。 ここで上に soh cah toa を書いておきましょう。 この 3 角関数の覚え方はいろいろ あるので他の方法でも構いません。 soh cah toa。 これは sin が反対辺 (opposite) 割る斜辺 (hypotenuse)， cos は隣接辺 (adjacent) 割る斜辺 (hypotenuse)， そして tan は反対 (opposite) 辺割る 隣接辺 (adjacent) を表しています。 ここではシータと s が わかっているものとして， 垂直方向成分と水平方向成分 が何かを求めたいと思います。 では，垂直方向成分 は何になりますか? 垂直方向成分はこの シータの反対辺です。 垂直方向成分はこの シータの反対辺。 そして hypotenuse，斜辺の s も 知っていますから，sin を使います。 なぜなら，sin が反対辺と斜辺 を扱っている関数だからです。 sin シータ…。 これは緑で書きましょうか。 垂直方向の成分は 全部緑で書きます。 sin シータは，それは 反対辺，…。 反対辺は速度の 垂直方向の成分でした。 ですからこの S_v 割る斜辺です。 そして斜辺は速さの s でした。 もし速度の垂直方向成分について この式を解きたい時には， 両辺に s をかける ことができます。 では両辺に s をかけると， s sin θが速度の垂直方向 成分に等しいです。 ですからこれは s sin θ になります。 そして水平方向成分も 同様に求められます。 しかしこちらは sin ではありません。 これは角度の隣接辺です。 隣接辺と斜辺は cos の関係でした。 すると，cos θ が等しいのは， 角の隣接辺，それは水平 方向成分の速さで，S_h それ割る斜辺です。 斜辺の大きさは，ここの 長さはここ s です。 すると，これをもし 速度の水平方向の 成分の大きさについて 解きたいとすれば， この両辺に s を かけることになります。 するとこれは s cos θ が S_h 水平方向成分に 等しいとなります。 すると，これで私たちはこの方向， この水平方向の成分が， どれだけの速さなのか わかりました。 これは s cos θ になる ことがわかりました。 そして，垂直方向の 成分もわかりました。 垂直方向もちょっと書いてみます。 この大きさは，s sin θです。 s sin θです。 これで 2 つの成分に 分解できました。 ですからこれで，この 物体がどれだけの時間 空中にあるかを求める 準備ができました。