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単位ベクトル表記

あるベクトルを単位ベクトルのスケール和として表現しましょう. Sal Khan により作成されました。

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ビデオのトランスクリプト

こんにちは。 これまでベクトルを使って 私たちはたくさんのことをしてきました。 多くの問題では, 何かを投射しました。 投射物の問題では,または, 斜面への投射の問題では, 私はいつもベクトルを 使ってきました。 私はベクトルをこのように描きます。 ここでは私は,何かが 10 メートル毎秒の 速度を持つと言うでしょう。 そしてまたこれは 30 度の 角度を持っています。 そしてそれから,私はこれを x と y の成分に 分解しようと思います。 私がこのベクトルを v と呼ぶことにして, こんな記法を使います。 v 下付き x, これはまた v_x といいます。 そして v_x というのはここにこう 描いているベクトルです。 この (ベクトル) v の x 方向成分です。 そして v 下付き y, または v_y というのはこんな y 方向ベクトルになるでしょう。 こちらが v_x で, これは v_y です。 そしてここまでのビデオで, これらが何かは もう自然にわかって いると嬉しいです。 v_x というのは 10 cos 30 度です。 cos 30 度。 これがどうしてかは前の ビデオを見てください。 そして v_y というのは,この 10 かける sin 30 度です。 これがもう自然に出てくるよう になっているといいですね。 もしそうでなかったら,以前の ビデオで覚え方もやりました。 sin 30 度は斜辺割る 反対辺です。 ちょっとこれに戻りましょうか。 これらはもう全部 説明してありますから, よかったらベクトルの ビデオを見直してみて下さい。 しかし,ここで私がしたい ことはもうちょっと違います。 これは簡単な投射物の問題 には役に立ちますけれども, しかし私たちがもっと複雑な ベクトルの問題を扱いはじめると, たとえば複数次元のベクトル の問題,3 次元のベクトル, または,線形代数で n 次元を扱いだすと, 一貫した方法が 必要になります。 ベクトルを表現するために 毎回絵に描くようなものではない, ある意味,分析的な方法 というものが必要です。 その方法として,ここで私たちは 単位ベクトル記法と 呼ばれるものを使います。 それはどういうものでしょうか? ちょっとまずは軸を 描いてみましょう。 そして,心に留めておいて 欲しいことがあります。 これは最初はちょっと 混乱するかもしれませんが, これまでの物理の問題で やってきたことと何も 変わったことはありません。 まずはここにこう軸を描いて, ここが 1,ここが 0, こちらは x 軸,おっと, ここは 2 です。 アラビア語か何かを書くように 反対になってしまいました。 これは 0, 1, 2 で, これは 20 ではないです,2 です。 ここが 1 で, ここが 2 と これは y 軸ですね。 私はここで 2 次元の単位ベク トルと呼ばれるものを定義します。 まず私はベクトルを 1 つ 定義したいと思います。 私はこれをベクトル i と呼びます。 そしてこれがそのベクトルです。 それは x 方向を真っ直ぐ指し, y 成分はありません。 その大きさは 1 です。 そしてこれが i です。 ここで私は i の上に小さな キャップまたはハットを置いて, 単位ベクトルを示します。 単位ベクトルのための 記法はいくつかあります。 ある本では,この i はキャップなしで, 単にボールド,太字の 場合もあるでしょう。 他の記法もあります。 しかしもしあなたが i を見て, それが虚数の意味では ないとわかったら, これが単位ベクトルであると 気がついて欲しいです。 それは大きさ 1 で,完全に x 方向 だけを向いているベクトルです。 そして他にもう一つのベクトル も定義したいと思います。 それをベクトル j と呼びます。 そしてそれは y 方向という こと以外は i と同じです。 これがベクトル j で, 上に小さなキャップを置いて, 単位ベクトル (であること) を示しましょう。 なぜこういう定義をするのでしょうか? そうですね。後で 3 次元 などを扱う場合に これはより重要に なってきますが, 今は 2 次元に注目しましょう。 2 次元を扱っている場合, これら 2 つのベクトルの和を使って どんな 2 次元のベクトルも 定義できます。 どうしてそんなことが できるのでしょうか? ここにあるベクトルは, ベクトル v と呼びました。 このベクトル v はその x 方向成分と そして y 成分の和でした。 ベクトルをたした時には, この頭と尾をつなげたものになります。 ベクトル v というのは, そのベクトル v の x 方向成分たす ベクトル v の y 方向成分のベクトル に等しいことを知っています。 ベクトルどうしををたすというのは, 頭から尾になり, そして,結果がここになります。 もしこのベクトルをたすと, この尾からこの頭に向かって, ここに着くわけです。 では,ベクトル v_x を この単位ベクトル i の 倍数として定義する ことはできますか? もちろんできますね。 ベクトル v_x は完全に x 方向 だけを向いています。 しかしそれは大きさが 1 の ベクトルではありません。 それは大きさ 10 cos 30 度でした。 するとその大きさというのは…。 ちょっと単位ベクトルを こちらにも描いておきましょう。 単位ベクトル i でがここに, こんな感じにあります。 するとベクトル v_x は i とまったく同じ方向を向いています。 そしてそれは単にこの単位ベクトルの スケールした,拡大縮小した バージョンでしかありません。 では,その大きさは どれだけかというと, この 10 cos 30 度の 大きさがあります。 単位ベクトルの大きさは 1 です。 まあこれはだいたい 5 √3 とかでしょう。 一番上の v_x は ベクトルではないので 矢印がないことに注意してください。 今,ベクトルの v_x, ここは矢印がついています。 これは 10 cos 30 度, かける単位ベクトル i です。 ちょっと色を戻しておきましょう。 混乱しないように, この色にしておきます。 これで意味は通りましたか? 単位ベクトル i はベクトル v_x と まったく同じ方向を向いています。 しかし,このベクトル v_x は i とは長さが違っています。 それは 10 cos 30 度の長さで, cos 30 度は2 分の√3 ですから 5 √3 i になるでしょう。 同じように,y 成分というのは, このベクトル j の ある倍数として書くことができます。 こちらにも j を描いておきましょう。 sin 30 度は何か? このベクトル v の y 方向成分 sin 30 度はなにかというと それは1/2 です。 1/2 かける 10, それは 5 です。 y 成分というのは完全に y 方向だけを向いています。 ですからそれはこのベクトル j, 単位ベクトル j の倍数になります。 その倍数は何でしょうか? ベクトル v_y の長さは 5 で, 単位ベクトルの長さは いつも 1 です。 ですから,これは単純にこの ベクトル j の 5 倍です。 では,ベクトル v はどう 書くことができますか? ベクトル v はその x 方向成分と その y 方向成分の和でした。 総ベクトル v の この x 方向成分のベクトル は何だったかというと, この 5 √3 i でした。 ですから 5 √3 i たす... y 方向成分の ベクトルは何かというと 単位ベクトル j の倍数です。 j ハットの倍数で, それは 5 の j でした。 5 倍の j でした。 たす,5 倍の j。 これが総ベクトルになります。 ちょっと単位ベクトル i の色を わかるように戻しておきましょう。 これはこの単位ベクトルです。 2 次元の空間で 単位ベクトルを使います。 そして結局はそれを複数次元で 使うこともできます。 ここではどんな 2 次元 のベクトルでも ある意味分析的に 表現することができました。 前にやったように, いつも絵に描いて, その成分を分解して, 可視化する必要と いうのはありません。 私たちはグラフィカルな モードではなくて, 分析のモードにいることができます。 これがとても使える点というのは, もし私がベクトルを この形式で書いたら, 目に見えるような方法に頼らずに それらをたしたりひいたり できることです。 それはどういう意味でしょうか? そうですね。たとえば,… もし私があるベクトル a が, これが何かに等しい...。 何でもいいのですが 2i + 3j に等しいとしましょう。 そして私には他にも もう 1 つ 2 次元のベクトル b があるとします。 この小さな矢,これは ベクトルを表します。 全部の矢印で 描いてもかまいません。 そして,b は 10i + 2j としましょう。 もし私がこれら 2 つのベクトルの和, a + b が何かと考えたら どうなるでしょうか? この単位ベクトル 記法を知る前には, 私たちはこれらを絵に描いて 目に見えるようにする 必要がありました。 それは結構時間のかかることです。 しかし一度このように x 成分 と y 方向成分に分けてあれば, x と y の成分を別々に たすことができます。 それは,(2 + 10) の i たす (3 + 2) の j と 書くことができます。 それは 12i + 5j に等しいです。 多分あなたは,まあ,私もいつか ビデオでやってみたいと思いますが, 実際にこれらの 2 つのベクトルを 絵に描いて目に見えるように たしてみたいと思います。 すると,この答えとまったく同じこと になることがわかるでしょう。 そしてさらにビデオが進んでいって, もっと複雑な物理の 問題を解きはじめると, または解析学を使ったりすると これがとても役に立つと わかるでしょう。 とにかく,もうすぐ 10 分の時間 を使い切りそうなので, 次のビデオでお会いしましょう。