連立方程式:トロルと通行料 (2/2)

前のビデオでは，私たちは城に行って 誰か救わないといけない人を救おう としているというところでした。 しかしそのためには橋を渡る 必要がありましたが， その通行料が払えなかったので， トロールが謎を出しました。 もしこの謎を解かないと， トロールは私たちを川に 落とすでしょう。 ですから，私たちはピンチです。 前のビデオでもうこの謎は 解きはじめました。 トロールの手掛かりを数学的に 連立方程式として 表すことはできました。 そこでこのビデオで私がしたいことは， この連立方程式を解くことです。 後で連立方程式を解く方法を いろいろと習っていきますが， しかし今回は，可視化して やってみましょう。 なぜなら，私の頭では，可視化で これが何かを直感的に 感じることができるからです。 ではここに軸を描いてみましょう。 まずは f 軸を描きましょう。 それは 5 ドル札の数です。 そして t 軸も描きましょう。 それは 10 ドル札の数です。 そしてここが 500 枚の 10 ドル札です。 ここは 1000 枚の 10 ドル札です。 そしてこれは，・・・ おや，すみません。 こっちが 500 枚の 5 ドル札でした。 こっちが 10 ドル札です。 ここが 500 枚の 10 ドル札， ここが，1000 枚の 10 ドル札です。 ではこの 1 個目の方程式が 満たす f と t の 全ての組合せについて 考えてみましょう。 もし 1 枚も 10 ドル札がなければ， 900 枚の 5 ドル札があるはずです。 するとそれはこのあたりでしょう。 このあたり．．． これは 0 枚の 10 ドル札， 900 枚の 5 ドル札の点です。 しかし，逆だったらどうでしょうか? 5 ドル札が 0 枚の時には， 900 枚の 10 ドル札になります。 するとこの点は 900 枚の 10 ドル札， 0 枚の 5 ドル札です。 この方程式を満たす f と t の 全ての組合せは この 2 点を結ぶ直線上にあります。 これを点線で描いたのですが， それは私に単に描きやすいからです。 するとこれが最初の制約を 満たす全ての f と t を表します。 明らかにたくさんの組合せがあります。 まだトロールが何枚ずつ持って いるかはわかりません。 しかしラッキーなことに，2 つ目の 制約がここにあります。 では同じことをしてみましょう。 この制約では，10 ドル札が 0 枚の時にはどうなりますか? もし 10 ドル札が 0 の時，5f が 5500 に等しくなります。 これはちょっと複雑なので， ここに小さな表を書いて 整理しましょう。 2 番目の方程式， 10 ドル札と 5 ドル札。 もし 10 ドル札が 0 枚の時， 5f が 5500 に等しいので， f は 1100 です。 1100 枚の 5 ドル札があるはずです。 そしてもし 5 ドル札が 0 枚の時， ここが 0 になって， 10t が 5500 に等しい。 すると 550 枚の 10 ドル札 になるはずです。 ではこれら 2 点をプロットしましょう。 それはこのあたりです。 この点 0, 1100 は この方程式を表す直線上にあります。 そして f が 0， t は 550。 そうするとこれは， 600, 700, 800, 900。 550 はこのあたりになります。 これが 550 カンマ 0 の点です。 そしてこの 2 点を結ぶ 直線上の点が，・・・。 もう一度，直線を描いてみます。 もうちょっと上手くかけそうです。 これらの点の全てが，・・・ もう一度描いてみます。 できるだけ正確にしたいです。 トロールに川に 落とされたくないですからね。 こんな感じでしょう。 結構上手く描けたように思います。 この青い直線の上の点は 全て 2 番目の制約を 満たす ft の組合せです。 では，両方の制約を 満たす f と t は何か， または，5 ドルと 10 ドル札の 枚数は何ですか? それはこれら 2 本の直線上の 両方の上にある点でしょう。 これらの両方の直線上に ある点はどこですか? それは直線の交差する所です。 ここにあるこの点が 明らかに青い直線と 黄色い直線の両方の 上にあります。 ここでは，もしこのグラフが とてもとても正確に描かれていれば， 5 ドル札と 10 ドル札の 枚数がわかるはずです。 私はあなたが実際にこれを とても正確に描いて， 5 ドル札と 10 ドル札の 枚数が何枚になるかを 求めることをおすすめします。 さて，ここでは，目の子で だいたいを見てみましょう。 このここを見ると，700 枚の 5 ドル札と，．．．大体 700。 そして大体 200 枚の 10 ドル札があるようです。 ただ，それはこの適当な グラフが元です。 でもそれでどうなのか 確かめてみましょう。 700 たす 200 は確かに 900 です。 そして，700 枚の 5 ドル札，・・・ これはちょっと書いておきましょう。 5 かける 700 は 5 ドル札の金額です。 それは 3500 ドルです。 そしてたすことの 10 ドル札， 10 かける 200 枚は 2000 ドルです。2000 ドル。 それは 10 ドル札の金額です。 これらの金額をたすと， 確かに 5500 ドルでした。 正しかったですね。 これでトロールに答えることができます。 わかりました! あなたが何枚の 5 ドル札と 10 ドル札を 持っているかわかったよ! 5 ドル札を 700 枚，10 ドル札を 200 枚持っているでしょう。 トロールは感心して， このファンタジーの冒険で ヒーローかあるいは ヒロインになるあなたに 橋を渡らせてくれることでしょう。