連立方程式をグラフで描く: お手伝い

次の問題をグラフを描いて解きましょう。 先週末，アビィとベンは家事の 手伝いをしてお金を稼ぎました。 2 人の収入の合計は 50 ドルで， アビィはベンよりも 10 ドル多く稼ぎました。 2 人の収入はそれぞれ いくらだったでしょうか? では，変数を設定していきましょう。 アビィの収入を A としましょう。 A をアビィの収入とします。 そして，B をベンの収入とします。 ベンの収入を B とします。 問題は，これらの変数の関係を 次のように言っています。 2 人の収入の合計は 50 ドルです。 この文が言っていることを 数学的な式で表すと， 「2 人の合計」というのは，つまり， 2 人の収入の「和」ということ ですから「たし算」になって， A 「たす」 B が 50 ドルに等しいはずです。 アビィの収入たすベンの 収入が 50 ドルに等しい。 そしてさらに，アビィはベンよりも 10 ドル多く稼いでいます。 これを数式に翻訳すると， アビィの収入 A が等しいのは ベンよりも 10 ドル多いものです。 つまり，ベン (の収入) たす 10 です。 アビィの収入はベンの収入 たす 10 ドルです。 これで 2 個の方程式と 2 個の変数を含む 連立方程式が立ちました。 そして 2 人の収入は それぞれいくらか? です。 また，この問題を，グラフを使って 解くようにと言っています。 解き方は色々ありますけれども， ここは問題の言う通りに， グラフを使って解きましょう。 ここに軸を描きます。 第一象限だけ描けばよいでしょう。 というのは，これは収入の問題で， 収入がマイナスということは ここではないからです。 垂直軸をアビィの軸，A にします。 そして，水平軸がベンの収入 B を 表していることにします。 それぞれの方程式を， それぞれグラフに示しましょう。 そして，そのために最初の方程式を， これと等価な傾き 切片形式に変換します。 これからお見せする式はちょっと 見慣れないかもしれませんが， 傾き切片形式です。 まず，最初に， A たす B が 50 に等しいので この両辺から B をひきます。 両辺から B をひく。 すると，A = -B + 50 です。 こう考えてみましょうか。 B が 0 の時，A は 50 です。 すると，この方程式の A 切片は-- 普通は「y 切片」ですが， 今は y 軸ではなくて 「A 軸」なので「A 切片」です。 目盛りを書きます。 10, 20, 30, 40, 50 です。 すると，この最初の方程式を 満たすためには， もしベンの収入が 0 の時， アビィは 50 ドル稼ぐ必要があります。 それが最初の制約です。 あわせて 50 ドル。 そして，このグラフの傾きは -1 です。 先ほど方程式をこう 書き換えたので， B が独立変数になりました。 B の係数は -1 です。 また別の見方をすると A が 0 の時，B は 50 です。 もし，アビィの収入が 0 だったとしたら， ベンは 50 ドルを稼がないと 合計が50になりません。 それは，この最初の 方程式による制約です。 すると， 10, 20, 30, 40, 50 です。 すると，これら 2 個の点が， いずれか片方の収入が 0 だった場合で この間にある全ての点が， 最初の方程式の制約を 満たします。 では，点をつないで 直線を描きますと， このようなグラフになります。 このグラフは，最初の 方程式による制約です。 「2 人の収入の合計は 50 ドル」という制約です。 では， 2 個目の制約を見ましょう。 アビィはベンよりも 10 ドル多く稼いだ。 それを表しているのが， こちらの方程式です。 これは，もう傾き切片形式です。 もしベンの稼ぎが 0 ドルなら， アビィの稼ぎは 10 ドルです。 これが A 切片です。 ここにきます。 傾きは 1 なので，ベンが 10 ドル稼いだ場合は， アビィの稼ぎは 20 ドルです。 ベンの稼ぎが 20 ドルの時は， アビィの稼ぎは 30 ドルです。 もっと続けてもいいんですが， グラフを描くにはこれで十分でしょう。 もう交点の位置の見当がつきました。 ざっと見た感じで，2 個の方程式に よる制約をグラフにすると-- 2 人の収入の合計が 50 ドルは このマジェンタ色で， アビィはベンよりも 10 ドル 多く稼いだは，この緑色です。 どうやら交点があるようです。 そして，その交点の座標は， ベンの稼ぎが 20 ，.. 目盛りは，10, 20, 30, 40, 50。 すると，ここがベンの収入が 20 ドルの時で， アビィの収入は，10, 20, 30で， アビィの収入は 30 ドルです。 目の子で見た感じ どうやら A は 30 で， B は 20 のようです。 では，これらアビィとベンの それぞれの収入の値が 両方の方程式による制約を 満たしているか確認しましょう。 最初の制約は，アビィとベンの 収入の合計が 50 ドルです。 30 たす 20 は 50 ですから はい，最初の制約は満たしました。 2 個目の制約は，アビィは ベンよりも 10 ドル多く稼いだ，なので アビイの収入は，ベンの収入たす 10 ドルで，これも大丈夫です。 アビイはベンよりも 10 ドル多いので， 2 個目の制約も満たしています。 制約はこれら 2 個だけなので， 全部の制約を満たされました。 すると。これが解です。 アビィの収入は 30 ドルで， ベンの収入は 20 ドルでした。